Para obtener imágenes con mayor resolución probablemente sea mejor reescribir el código en Fortran (ya que el algoritmo esta claro). Tal vez lo haga, pero probablemente sea más interesante darle otro giro: El tema de aberración esférica en realidad no esta muy orientado a espejos curvos sino a lentes delgadas. Sería interesante hacer una simulación similar, pero usar lentes en lugar de espejos. Habría que usar la ley de Snell (con dos refracciones) en lugar de la ley de la reflexión.
]]>Si el espejo es parabólico entonces los rayos convergen a un punto llamado foco, pero si se trata de un casquete esférico, los rayos se acercan, pero no convergen precisamente en un punto. A este defecto se le conoce como aberración esférica. Se me ocurrió que se podría encontrar la concentración de la luz en distintas partes del espacio en frente de un espejo curvo mediante una simulación. No describiré todos los detalles de la simulación, sólo la idea general.
Dividimos la luz incidente en varios rayos del mismo grosor. Imaginemos que cada uno de estos rayos incidentes llega a un pequeño espejo plano, y usamos la ley de la reflexión para encontrar las ecuaciones de los rayos reflejados (dos ecuaciones por cada rayo, porque cada rayo esta formado por dos rectas). Podemos graficar esta situación así:
Se ha dividido la luz incidente en 8 rayos. Se muestra de color amarillo los rayos incidentes, y de color azul los rayos reflejados.
Ya en esta imagen se puede ver dónde estará mas o menos el foco de nuestro espejo: será en la región en la que se cruce el mayor número de rayos. Pero nos interesa conocer la concentración de la luz en distintas partes del espacio, y esta imagen no es muy clara en ese sentido. Entonces dividimos el espacio en cuadritos (pixeles). Para cada pixel determinamos cuántos rayos reflejados pasan por él. Con esta información formamos una matriz con los pixeles la cual se puede graficar en Sage con el comando matrix_plot. El resultado es el siguiente:
En esta imagen cada pixel representa 0.001 unidades de área.
Aquí se han usado 8 rayos incidentes (es decir el grosor de cada rayo incidente fue de 0.25 unidades de longitud) Si partimos la luz incidente en un mayor número de rayos más finos (lo que equivale a usar un mayor número de pequeños espejos planos), obtenemos un resultado más similar a la realidad. En las imágenes que siguen se usaron 80 rayos incidentes y pixeles que corresponden a 0.001 unidades de área. La concentración de luz producida por un espejo esférico se ve así:
La concentración de luz producida por un espejo esférico
Para un espejo en forma de catenaria:
Una curva catenaria se puede obtener dejando colgar un hilo. Se puede ver que la concentración es algo mayor que en el caso del espejo esférico.
Para un espejo parabólico:
Se puede ver que el espejo parabólico concentra todos los rayos de luz en un punto (de color blanco).
El proceso de producir estas imágenes lleva unos dos minutos en mi computadora. Producir imágenes más finas llevaría más tiempo del que estoy dispuesto a esperar, pero así ya tenemos una idea más o menos clara de cómo es la concentración producida por diferentes espejos.
A manera de conclusión, teniendo la matriz de la concetración se puede ubicar la posición del punto de mayor concentración. En el caso del espejo esférico la teoría simplificada sin aberración dice que este punto será 
La hoja de trabajo en la que hice todo esto la publicaré en otro post dentro de poco.
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Puedes guardar tus gráficas en formato pdf, eps, svg usando SAGE.
Aquí un ejemplo representativo.
Cabe aclarar que solo es para gráficos 2D.
sage: p = plot(x^2, x)
sage: p.save('test.pdf')
sage: p.save('test.eps')
sage: p.save('test.svg')
Espero les sea de utilidad!!!Saludos y gracias por sus visitas!!! 
Ojalá les sirva, tiene algunas modificaciones desde la vez anterior (que tenia algunos errores) las gráficas de ahora son como las del libro de texto
. Si no tienen una, el codigo debe funcionar en simple Python (siempre que tengan instalado numpy y pylab). Ahora, para que esto se vea bonito, algunas imagenes de los patrones obtenidos:
Con un hueco circular se obtiene este patron
Con un hueco en forma de triángulo equilátero
Con dos rejillas paralelas
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Que muestra la distancia entre el origen de la partícula, y la partícula en función del tiempo (para varios valores de 
Recordemos los valores de 
Esto lo podemos expresar en una sola ecuación, vectorial:
El módulo de este vector, es justamente la distancia entre el origen y la partícula:
Que es la función que debemos derivar. El hecho de tener que derivar raíces cuadradas implica que la derivada será bastante larga. Podemos simplificar las cosas al derivar no el módulo del vector sino el cuadrado del módulo:
La derivada del módulo al cuadrado será cero en los mismos puntos que la derivada del módulo, ya que ambas son crecientes o decrecientes en los mismos intervalos.
Igualando esto a cero, obtenemos una raíz nula 
Entonces nos queda la siguiente ecuación:
De la cual salen los dos valores del tiempo que buscábamos:
Al igular estos dos valores del tiempo, obtenemos una ecuación, cuya solución para
que podemos simplificar hasta dejar:
Al resolver esta ecuación obtenemos el ángulo crítico:
Ahora, podemos graficar las regiones del tiempo en las que la partícula se acerca o se aleja. Se puede demostrar que el momento en que la partícula deja de subir, y empieza a bajar es:
El momento en que (si 
![t_1=\frac{v_0}{g}[\frac{3sen(\theta)-\sqrt{9sen^2(\theta)-8}}{2}]](http://l.wordpress.com/latex.php?latex=t_1%3D%5Cfrac%7Bv_0%7D%7Bg%7D%5B%5Cfrac%7B3sen%28%5Ctheta%29-%5Csqrt%7B9sen%5E2%28%5Ctheta%29-8%7D%7D%7B2%7D%5D&bg=FFFFFF&fg=000000&s=0 "t_1=\frac{v_0}{g}[\frac{3sen(\theta)-\sqrt{9sen^2(\theta)-8}}{2}]")
El momento en que (si
![t_2=\frac{v_0}{g}[\frac{3sen(\theta)+\sqrt{9sen^2(\theta)-8}}{2}]](http://l.wordpress.com/latex.php?latex=t_2%3D%5Cfrac%7Bv_0%7D%7Bg%7D%5B%5Cfrac%7B3sen%28%5Ctheta%29%2B%5Csqrt%7B9sen%5E2%28%5Ctheta%29-8%7D%7D%7B2%7D%5D&bg=FFFFFF&fg=000000&s=0 "t_2=\frac{v_0}{g}[\frac{3sen(\theta)+\sqrt{9sen^2(\theta)-8}}{2}]")
Y el momento en que la partícula cae al suelo es:
Podemos ver que estos cuatro momentos tienen un factor común 
En coordenadas rectangulares, esto queda así
Se muestra de color naranja la trayectoria propia del ángulo crítico
En coordenadas polares:
Se muestra de color naranja la trayectoria propia del ángulo crítico
Eso es todo. Comentarios bienvenidos. A mi me parece bellísimo 
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agradecemos su lectura y visitas!!
Se agradecen los comentarios!!!
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y habituales en cooordenadas esféricas.
Estos son los famosos orbitales s,p,d,f que se estudian en la secundaria y que nos muestran que tienen formas exóticas como de globos amarrados. Bueno, a estas alturas al fin podemos entender qué son analíticamente esos orbitales, y más aún: graficarlas con Sage.
Bueno, aún no. Las gráficas de coordenadas esféricas no están disponibles aún en Sage (la versión actual 4.3.3 no lo incluye). Pero será incluido en la próxima versión (4.3.4). Me enorgullece decir que fui parte del desarrollo de esta función. En el momento de desarrollarlo no tenía en mente que tuviera una aplicación tan fascinante, pero pues ahora estoy más contento de haberlo hecho.
Ya sin más bla bla bla, algunos ejemplos de las gráficas que hice con esta nueva caracterísitca:
La probabilidad asociada a 
La parte imaginaria del armónico esférico 
La parte real del armónico
Publicaré el código de Sage cuando salga la versión 4.3.4 para que lo puedan probar, y vean todas las combinaciones. Me está gustando esto de la mecánica cuántica .
Tal y como les había comentado en la entrada para el apoyo al proyecto SAGE en FIUADY, hoy les comparto unos manuales para que empiecen a probarlo y vean la utilidad que tiene dicho software.
El link de descarga es el siguiente:
no tiene pass.
El archivo está comprimido con 7zip, así que si no tienen instalado el programa es libre y gratuito.
Espero les sea de utilidad. Por favor envíen sus comentarios y sugerencias.
Un cordial saludo y felices cálculos
Ya para despedirme cabe felicitar a omólogos por su trabajo en apoyo al desarrollo de Sage. Al día de hoy ya está contemplado en la lista de desarrolladores alrededor del mundo.
]]>Saludos, y hasta pronto!
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